Question

如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．　
（1）求证：AF=DC；
（2）若∠BAC=90°，求证：四边形AFBD是菱形．

Answer 1

（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠1=∠2，
在△AEF和△DEC中，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=DC；

（2）证明：∵D是BC的中点，
∴DB=CD=BC，
∵AF=CD，
∴AF=DB，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D为BC中点，
∴AD=CB=DB，
∴四边形AFBD是菱形．
分析：（1）首先根据中点定义可得AE=ED，再根据平行线的性质可得∠1=∠2，再有∠AEF=∠DEC可以利用AAS定理证明△AEF≌△DEC，再根据全等三角形对应边相等证出AF=DC；
（2）首先证明四边形AFBD是平行四边形，再根据直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半证明AD=BC，再由D是BC的中点，可得BD=CD=BC，进而得到AD=BD，即可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证出结论．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定，关键是掌握：①全等三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS、ASA；②菱形的判定方法：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．