Question

2．如图，抛物线y=ax²+bx+3经过A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，点P是抛物线上一点，过点P作PD∥y轴交线段BC干点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长．
②探究是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，求此时点P坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，可求得a、b的值，可求得抛物线解析式；
（2）①由抛物线解析式可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式，用m则可表示出点P、D的坐标，则可表示出PD的长；②用m可分别表示出PD、PC、CD的长，分PD=PC、PD=CD和PC=CD三种情况可得出关于m的方程，可求得m的值，则可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过A（-1，0），B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
（2）①在y=-x²+2x+3中，令x=0可得y=3，
∴C（0，3），且B（3，0），
∴直线BC解析式为y=-x+3，
∵点P是抛物线上一点，
∴P（m，-m²+2m+3），D（m，-m+3），
∵点D在点P下方，
∴PD=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m；
②∵点P在线段BC上，
∴m＞0，
∵P（m，-m²+2m+3），D（m，-m+3），C（0，3），
∴PD=-m²+3m，PC=$\sqrt{{m}^{2}+（-{m}^{2}+2m+3-3）^{2}}$=m$\sqrt{{m}^{2}-4m+5}$，CD=$\sqrt{{m}^{2}+（-m+3-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$m，
当△PCD为等腰三角形时，则有PD=PC、PD=CD和PC=CD三种情况，
当PD=PC时，则有-m²+3m=m$\sqrt{{m}^{2}-4m+5}$，
解得m=0（舍去）或m=$\frac{2}{5}$，
此时P点坐标为（$\frac{2}{5}$，$\frac{91}{25}$）；
当PD=CD时，则有-m²+3m=$\sqrt{2}$m，
解得m=0（舍去）或m=3-$\sqrt{2}$，
此时P点坐标为（3-$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$-2）；
当PC=CD时，则有m$\sqrt{{m}^{2}-4m+5}$=$\sqrt{2}$m，
解得m=0（舍去）或m=3（P、D重合，舍去）或m=1，
此时P点坐标为（1，4）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（$\frac{2}{5}$，$\frac{91}{25}$）或（3-$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$-2）或（1，4）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想．在（1）中注意待定系数法的步骤，在（2）②中用m分别表示出PD、PC和CD的长是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度适中．