Question

如图，直线y=x+2与抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（

1

2

，

5

2

）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将点B坐标代入直线解析式，求出m的值，然后把A、B坐标代入二次函数解析式，求出a、b，即可求得解析式；
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n²-8n+6），表示出PC的长度，然后利用配方法求出二次函数的最大值，并求出此时n的值．

解答：解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，
∴m=6，即B（4，6），
∵A（

1

2

，

5

2

）和B（4，6）在抛物线y=ax²+bx+6上，
∴

( 1 2 )2a+ 1 2 b+6= 5 2 16a+4b+6=6

，
解得：

a=2 b=-8

，
∴抛物线的解析式y=2x²-8x+6；

（2）存在．
设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n²-8n+6），
∴PC=（n+2）-（2n²-8n+6）=-2n²+9n-4=-2（n-

9

4

）²+

49

8

，
∵-2＜0，
∴开口向下，有最大值，
∴当n=

9

4

时，线段PC有最大值

49

8

．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求函数解析式，配方法求最值等知识点，解答本题案的关键是根据解析式设出点P和点C的坐标，列出PC的代数式．