Question

2．如图，四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒．
（1）若折叠后长方体底面正方形的面积为1250cm²，求长方体包装盒的高；
（2）设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为x（cm），长方体的侧面积为S（cm²），求S与x的函数关系式，并指出关系式中a、b、c的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得出NP的长度，再利用正方形性质表示出底面正方形面积进而得出答案即可；
（2）表示出长方体的侧面积进而得出二次函数的解析式．

解答 解：（1）设剪掉阴影部分的每个等腰直角三角形的腰长为xcm，则NP=$\sqrt{2}$xcm，
DP=$\frac{60-\sqrt{2}x}{2}$，QM=PW=$\sqrt{2}$×$\frac{60-\sqrt{2}x}{2}$，
由题意得：（$\frac{60-\sqrt{2}x}{2}$×$\sqrt{2}$）²=1250，
解得，x₁=5$\sqrt{2}$，x₂=55$\sqrt{2}$（超过60，故不符合题意舍去），
答：长方体包装盒的高为5$\sqrt{2}$cm．
另法：∵由已知得底面正方形的边长为$\sqrt{1250}$=25$\sqrt{2}$，
∴AN=25$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=25．
∴PN=60-25×2=10．
∴PQ=10×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=5$\sqrt{2}$（cm）．
答：长方体包装盒的高为5$\sqrt{2}$cm．

（2）由题意得，S=4×S_{四边形QPWM}=4×PW•QP，
∵PW=$\sqrt{2}$×$\frac{60-\sqrt{2}x}{2}$，QP=x，
∴S=4×$\sqrt{2}$×$\frac{60-\sqrt{2}x}{2}$×x=-4x²+120$\sqrt{2}$x，
则a=-4，b=120$\sqrt{2}$，c=0．

点评 本题考查了二次函数的实际应用，发现底边长与正方形ABCD边长的关系是解题关键．