Question

6．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC边上的点，且$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{2}$，则四边形ADFE与△ABC的面积之比为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 作辅助线，作出三角形各自的高线，把四边形分成两个三角形，则四边形ADFE的面积=S_△ADE+S_△DEF，根据相似三角形的判定得△ADE∽△ABC，则$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，代入面积公式求比值即可．

解答 解：∵且$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴DE∥BC，
连接DE，过A作AM⊥BC，交DE于G，则AM⊥DE，过F作FN⊥DE，垂足为N，
∴AG+FN=AM，
∴S_{四边形ADFE}=S_△ADE+S_△DEF=$\frac{1}{2}$×DE×AG+$\frac{1}{2}$×DE×FN=$\frac{1}{2}$×DE×（AG+FN）=$\frac{1}{2}$×DE×AM，
∴$\frac{{S}_{四边形ADFE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×DE×AM}{\frac{1}{2}×BC×AM}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{3}$；
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似得出边长的比；本题的关键是找出两直角三角形高的和与△ABC的高的关系．