如图.反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y=-$\frac{1}{2}$x的图象交于A.B两点.若B点的横坐标为2.点P是第二象限内反比例函数图象上的动点.且在直线AB的上方．(1)求反比例函数的解折式．(2)若点P的横坐标为-1.判断△PAB的形状.并说明理由．(3)若直线PA.PB与x轴分别交于点M.N.是否存在一点P.使△PMN为等边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y=-$\frac{1}{2}$x的图象交于A、B两点，若B点的横坐标为2，点P是第二象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）求反比例函数的解折式．
（2）若点P的横坐标为-1，判断△PAB的形状，并说明理由．
（3）若直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，是否存在一点P，使△PMN为等边三角形，并求出此时的点M、N的坐标．

分析（1）由B点的横坐标为2，且在在一次函数y=-$\frac{1}{2}$x的图象上，即可求得点B的坐标，然后代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，即可求得答案；
（2）由点P的横坐标为-1，可求得点P的坐标，又由A与B关于原点对称，可求得点A的坐标，然后利用勾股定理的逆定理，判定△PAB是直角三角形；
（3）首先设P（m，-$\frac{2}{m}$），直线PA的解析式为：y=ax+b，设直线PB的解析式为y=px+q，然后利用待定系数法，求得直线PA与PB的解析式，则可求得点M，N的坐标，即可求得MN的长，再过P作PD⊥x轴，垂足为D，继而求得m的值，即可求得答案．

解答解：（1）∵点B的横坐标为2，又点B在一次函数y=-$\frac{1}{2}$x的图象上，
∴点B（2，-1），
又∵点B在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=xy=2×（-1）=-2，
∴反比例函数的解折式为：y=-$\frac{2}{x}$；

（2）∵点P的横坐标为-1，又点P在y=-$\frac{2}{x}$上，
∴P（-1，2），
∵A与B关于原点对称，
∴A（-2，1），B（2，-1），
∴AB²=（-2-2）²+[1-（-1）]²=20，PB²=（2+1）²+（2+1）²=18，PA²=（2-1）²+（-1+2）²=2，
∴AB²=PB²+PA²，
∴△PAB是直角三角形；

（3）令P（m，-$\frac{2}{m}$），
设直线PA的解析式为：y=ax+b，设直线PB的解析式为y=px+q，
把P（m，-$\frac{2}{m}$），A（-2，1）代入y=ax+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{m}=am+b}\\{1=-2a+b}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{m}}\\{b=1-\frac{2}{m}}\end{array}\right.$
∴直线PA的解析式为：y=-$\frac{1}{m}$x+1-$\frac{2}{m}$，
∴M（m-2，0），
把P（m，-$\frac{2}{m}$），B（2，-1）代入y=px+q得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{m}=pm+q}\\{-1=2p+q}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{1}{m}}\\{q=-1-\frac{2}{m}}\end{array}\right.$，
∴直线PB的解析式为：y=$\frac{1}{m}$x-1-$\frac{2}{m}$，
∴N（m+2，0），
∴MN=4，
如右图，过P作PD⊥x轴，垂足为D，
∵△PMN是等边三角形．
∴PD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4=2$\sqrt{3}$，
∴点P的纵坐标为2$\sqrt{3}$，
又∵P在y=-$\frac{2}{x}$上，
∴P（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2$\sqrt{3}$），即m=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴M（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$-2，0），N（2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）．

点评此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式，勾股定理的逆定理、等边三角形的性质以及直线与反比例函数的交点问题．注意求得MN的长，准确作出辅助线是关键．

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