Question

7．如图，点A是双曲线y=$\frac{8}{x}$在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（　　）

• A． y=$\frac{8}{x}$
• B． y=$\frac{16}{x}$
• C． y=-$\frac{16}{x}$
• D． y=-$\frac{8}{x}$

Answer 1

分析 先连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD≌△OAE，设A点坐标为（a，$\frac{8}{a}$），得出OD=AE=$\frac{8}{a}$，CD=OE=a，最后根据反比例函数图象上点C的坐标特征确定函数解析式．

解答 解：如图，连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=$\frac{8}{x}$的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
∵在△COD和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDO=∠OEA}\\{∠DCO=∠EOA}\\{CO=OA}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△OAE（AAS），
设A点坐标为（a，$\frac{8}{a}$），则OD=AE=$\frac{8}{a}$，CD=OE=a，
∴C点坐标为（-$\frac{8}{a}$，a），
∵-$\frac{8}{a}$•a=-8，
∴点C在反比例函数y=-$\frac{8}{x}$图象上．
故选（D）

点评 本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键环节．