Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为              .

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】

试题分析：根据菱形的判定，得出平行四边形ABCD为菱形，作出E关于BD的对称点E′，转化为线段长度的问题，再根据等边三角形的性质判断出△BCE′为直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．

 

∵E是BC的中点，BE=2a，

∴BC=2BE=2×2a=4a，

故BC=AC，

∴平行四边形ABCD为菱形．

∴∠ABD=∠CBD，

∴BD是∠ABC的平分线．

作E关BD的对称点E′，

连接CE′，PE，

则PE=PE′，

此时，PE+PC=PE′+PC=CE′，

CE′即为PE+PC的最小值．

∵∠A=120°，

∴∠ABD=∠ADB=30°，

∴∠ABC=60°，

又∵BE′=BE，

∴△E′BE为正三角形，EE′=2a，∠ABE=60°，

故EE′=EC，

∠EE′C=∠ECE′=30°，

∴∠BE′C=60°+30°=90°，

在Rt△BCE′中，

考点：轴对称---最短路径问题，菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理

点评：本题综合性较强，难度较大，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.