Question

如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°．
（1）求证：△ACF∽△BEC；
（2）设△ABC的面积为S，求证：AF•BE=2S；
（3）试判断以线段AE、EF、FB为边的三角形的形状并给出证明．

Answer 1

分析：（1）对应角相等，两三角形相似；
（2）根据相似三角形的性质证明AF•BE=AC•BC=2S；
（3）将△ACE绕O顺时针旋转90°到△CBG，边角边证明三角形全等，得出FG=EF，在证明△FBG为直角三角形，得出三边构成三角形的形状．

解答：证明：（1）∵AC=BC，∠ECF=45°，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，∠AFC=45°+∠BCF=∠ECB=45°+∠BCF．
∴∠AFC=∠ECB．
∴△ACF∽△BEC．

（2）∵△ACF∽△BEC，
∴

AC

BE

=

AF

BC

，
∴AF•BE=AC•BC．
∵S△ABC=

1

2

AC•BC，
∴AF•BE=2S．

（3）直角三角形．
提示：方法1：将△ACE绕点C顺时针旋转90°到△BCG，使得AC与BC重合，连接FG．
可以证明△FBG是直角三角形．
方法2：将△ACE和△BCF分别以CE、CF所在直线为轴折叠，
则AC、BC的对应边正好重合与一条线段CG，连接GE、GF，则△FEG是直角三角形．
方法3：由（2）可知AF•BE=AC•BC=AC2=

1

2

AB2．
设AE=a，BF=b，EF=c．
则（a+b）（b+c）=

1

2

（a+b+c）²，化简即得a²+b²=c²，
所以以线段AE、EF、FB为边的三角形是以线段EF为斜边的直角三角形．

点评：综合运用了相似三角形的判定和性质，旋转的方法将AE、EF、FB巧妙地转化为三角形．