Question

如图，A点坐标为（3，0），第一象限内的点P在直线y=2x上，且∠PAO=45°．
（1）经过P、O、A三点的抛物线的解析式是______；其顶点M坐标为______；
（2）若将（1）中的抛物线向上平移，使平移后抛物线的顶点Q在直线y=2x上，求△APM与△APQ的面积比；
（3）点N在平移后的抛物线上，且在直线AP上方，当△APN的面积最大时，求点N的坐标．

Answer 1

解：（1）过点P作PH⊥OA，垂足为点H．
∵点P在直线y=2x上，
∴设点P的坐标为（x，2x）．
∵∠PAO=45°，PH⊥OA，
∴∠PAO=∠APH=45°．
∴PH=AH=2x．
∵点A的坐标为（3，0），
∴x+2x=3．
∴x=1．
∴点P的坐标为（1，2），
设所求的二次函数解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）．
∵图象经过P（1，2）、O（0，0）、A（3，0）三点，
∴，
解得：，
∴所求的二次函数解析式为y=-x²+3x．
∴顶点M的坐标为（，3），
故答案为：y=-x²+3x；（，3），
（2）根据题意，得点Q的坐标为（，3），
∵S_△AQO=×3×3=，S_△APO=×3×2=3，S_{四边形AMPO}=×1×2+×（2+）×+××=，
∴S_△APM=-3=，S_△APQ=-3=，
∴△APM与△APQ的面积之比为；
（3）设AP的解析式为：y=kx+b，N到AP的最大距离为k，
∵A（3，0），P（1，2）
∴，
∴，
∴y=-x+3，
∴点N所在的直线NR的解析式为y=-x+3+k，
根据点Q（，3）的坐标可知平移后的二次函数解析式为y=-（x-）²+3，
∴-（x-）²+3=-x+3+k，
因为只要唯一一个交点，所以△=0，
∴k=，
∴x=2，y=，
∴△APN的面积最大时，求点N的坐标是（2，）．
分析：（1）先根据题意设点P的坐标为（x，2x），又由∠PAO=45°，PH⊥OA，可得PH=AH=2x，又由点A的坐标为（3，0），即可求得x的值，则可求得点P的坐标，再利用待定系数法将点P，O，A的坐标代入解析式即可得到方程组，解方程组即可求得解析式，利用公式即可求出顶点的坐标；
（2）根据图形求得：△APO、△AQO与四边形AMPO的面积，即可求得△APM与△APQ的面积，则问题得解；
（3）因为AP的长度不变，N可以看做是直线AP延向上的方向平移和抛物线的唯一一个交点，设N到AP的最大距离为k，此时△APN的面积最大．
点评：本题主要考查了二次函数和一次函数解析式的确定、函数图象交点的求法以及三角形面积的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．