Question

13．如图，△ABC中，AC=BC，I为△ABC的内心，⊙O经过B，I两点，且O在BC边上，⊙O与BC交于点D．
（1）求证：CI为⊙O的切线；
（2）若tan∠CBI=$\frac{1}{3}$，AB=6，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）连接AI延长AI交BC于H，连接OI、IC．想办法证明∠ICO+∠ICO=90°即可；
（2）由tan∠CBI=$\frac{1}{3}$，设IH=a，OB=OI=R，则BH=3a，在Rt△IOH中，R²=（3a-R）²+a²，解得R=$\frac{5}{3}$a，推出OH=BH-OB=$\frac{4}{3}$a，由OI∥AB，推出$\frac{OI}{AB}$=$\frac{OH}{BH}$=$\frac{\frac{4}{3}a}{3a}$=$\frac{4}{9}$，推出OI=$\frac{8}{3}$，a=$\frac{8}{5}$，延长即可解决问题；

解答 （1）证明：连接AI延长AI交BC于H，连接OI、IC．
∵I是内心，
∴∠IAC+∠ICB+∠IBC=90°，
∵AB=AC，IA平分∠BAC，
∴AH⊥BC，∠ABC=∠ACB，∠IBC=∠ICB，
∴∠ICA+2∠ICH=90°，
∵OB=OI，
∴∠OBI=∠OIB，
∴∠IOC=2∠ICO，
∴∠ICO+∠ICO=90°，
∴∠OIC=90°，
∴IC是⊙O的切线．

（2）∵tan∠CBI=$\frac{1}{3}$，
设IH=a，OB=OI=R，则BH=3a，
在Rt△IOH中，R²=（3a-R）²+a²，
解得R=$\frac{5}{3}$a，
∴OH=BH-OB=$\frac{4}{3}$a，
∵OI∥AB，
∴$\frac{OI}{AB}$=$\frac{OH}{BH}$=$\frac{\frac{4}{3}a}{3a}$=$\frac{4}{9}$，
∴OI=$\frac{8}{3}$，a=$\frac{8}{5}$
∴BC=2BH=6a=$\frac{48}{5}$．

点评 本题考查三角形的内心与内切圆、等腰三角形的性质、切线的判定、勾股定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练应用内心的性质解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．