Question

8．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，PC为⊙O的切线，C为切点，点E在⊙O上，AC=CE，连BE，AC=4，BC=2，则BE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 连接OC、AE，OC的反向延长线交AE于E，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=∠AEB=90°，则AB=2$\sqrt{5}$，再根据切线的性质得OC⊥PC，接着证明△PCB∽△PAC，利用相似比得到PC=2PB，PC²=PB•PA，则4PB²=PB（PB+2$\sqrt{5}$），解得PB=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，接下来利用等腰三角形的性质得CH⊥AE，则PC∥AE，所以∠P=∠PAE，然后证明Rt△ABE∽Rt△POC，则利用相似比可求出BE的长．

解答 解：连接OC、AE，OC的反向延长线交AE于E，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠AEB=90°，
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵PC为切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，即∠OCB+∠PCB=90°，
而∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠OCA=∠PCB，
而OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠PCB，
而∠CPB=∠APC，
∴△PCB∽△PAC，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PB}{PC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴PC=2PB，PC²=PB•PA，
∴4PB²=PB（PB+2$\sqrt{5}$），解得PB=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴OP=OB+PB=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，
∵CA=CE，
∴CH⊥AE，
∴PC∥AE，
∴∠P=∠PAE，
∴Rt△ABE∽Rt△POC，
∴$\frac{BE}{OC}$=$\frac{AB}{PO}$，即$\frac{BE}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\frac{5\sqrt{5}}{3}}$，
∴BE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了相似三角形的判定与性质．