Question

18．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过点A（-4，4）的抛物线y=$\frac{1}{k}$（x+2）（x+a）交x轴负半轴于点B，交x轴正半轴于点C，交y轴于点D（0，-2）．
（1）求a，k的值；
（2）点E是第一象限抛物线上一点，连接EB、EC，若∠BCE-∠EBC=90°，求点E坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AE交y轴于点F，连接DE、CF交于点G，横坐标为t的点P为抛物线在第四象限的一动点，连接FP交x轴于点R，点Q在FP上，∠FGQ=∠FRC，过点E作FP的垂线，点H为垂足，当t为何值时，GQ=$\sqrt{2}$FH？

Answer 1

分析 （1）根据点A（-4，4），D（0，-2）在抛物线y=$\frac{1}{k}$（x+2）（x+a）上，列方程组即可得到结论；
（2）过E作EM⊥x轴于M，根据余角的性质得到∠CEM=∠EBC，设点E的横坐标为c，则M（c，0），当y=0时，$\frac{1}{4}$（x+2）（x-4）=0解方程得到B（-2，0），C（4，0），OB=2，OC=4，在Rt△CEM和Rt△EBM内，根据三角函数的定义即可得到结论；
（3）过P作PW⊥y轴于W，根据点W，P的纵坐标为$\frac{1}{4}$（t+2）（t-4）列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵点A（-4，4），D（0，-2）在抛物线y=$\frac{1}{k}$（x+2）（x+a）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k=8-2}\\{-2k=2a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{k=4}\end{array}\right.$；
（2）如图1，过E作EM⊥x轴于M，∠BCE=90°+CEM，
∵∠BCE=90°+∠EBC，
∴∠CEM=∠EBC，
设点E的横坐标为c，则M（c，0），点E的纵坐标为$\frac{1}{4}$（c+2）（c-4），
∵点E是第一象限抛物线上一点，
∴OM=c，EM=$\frac{1}{4}$（c+2）（c-4），抛物线y=$\frac{1}{4}$（x+2）（x-4）交x轴负半轴于点B，交x轴正半轴于点C，
当y=0时，$\frac{1}{4}$（x+2）（x-4）=0
∴x₁=4，x₂=-2，
∴B（-2，0），C（4，0），
∴OB=2，OC=4，
在Rt△CEM和Rt△EBM内，tan∠CEM=$\frac{MC}{EM}$，tan∠EBM=$\frac{EM}{BM}$，∠CEM=∠EMB，
∴$\frac{MC}{EM}$=$\frac{EM}{BM}$，
∵MC=OM-OC=c-4，BM=OM+OB=c+2，
∴$\frac{c-4}{\frac{1}{4}（c+2）（c-4）}$=$\frac{\frac{1}{4}（c+2）（c-4）}{c+2}$，
∵点E在第一象限，
∴c-4≠0，c+2≠0，
∴（c-4）（c+2）=16，
解得：c₁=6，c₂=-4（舍去），
∴E（6，4）；
（3）在Rt△GHT内，HT=$\sqrt{2}$GH=2FH
EH=HTE=3FH，
∴tan∠HEF=$\frac{1}{3}$，
∵∠DFP=90°-∠HFE=∠FEH，
∴tan∠DFP=$\frac{1}{3}$，
过P作PW⊥y轴于W，
∴点W，P的纵坐标为$\frac{1}{4}$（t+2）（t-4），
∵点P在第四象限，
∴OW=$\frac{1}{4}$（t+2）（t-4），
∴FW=OF+OW=4-$\frac{1}{4}$（t+2）（t-4），
∴tan∠WFP=$\frac{PW}{FW}=\frac{1}{3}$，
∴FW=3PW，4-$\frac{1}{4}$（t+2）（t-4）=3t，
解得：t₁=2，t₂=-12，（舍去），
∴t=2时，GQ=$\sqrt{2}$FH．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，抛物线与x轴的交点，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．