Question

17．如图，我国某艘海舰船沿正东方向由A向B例行巡航南海部分区域，在航线AB同一水平面上，有三座岛屿C、D、E．船在A处时，测得岛C在A处南偏东15°方向距离A处$\sqrt{2}$a（a＞0）海里，岛D在A处南偏东60°方向距离A处a海里，岛E在A处东南方向，当船航行到达B处时，此时测得岛E恰好在船的正南方．
（1）请说明船航行的距离AB正好是岛E离开B处的距离；
（2）若岛D距离B处18海里，求岛C、E之间的距离．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠BAE=∠EAF=45°，∠ABE=90°，求得∠BEA=45°，于是得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到$\frac{BE}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{AD}{AC}$，根据已知条件得到∠DAC=∠DAF-∠CAF=45°，求得∠BAD=∠EAC，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵岛E在A处东南方向，
∴∠BAE=∠EAF=45°，
∵E恰好在B的正南方．
∴∠ABE=90°，
∴∠BEA=45°，
∴AB=EB，
∴船航行的距离AB正好是岛E离开B处的距离；
（2）∵∠ABE=90°∠BAE=45°，
∴sin∠BAE=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{AD}{AC}$，
∵∠CAF=15°，∠DAF=60°，
∴∠DAC=∠DAF-∠CAF=45°，
∴∠BAE-∠DAE=∠DAC-∠DAE，
即∠BAD=∠EAC，
∴△BAD∽△EAC，
∴$\frac{BD}{EC}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵BD=18海里，
∴CE=18$\sqrt{2}$海里．

点评 此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．