Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=5．点E是AD上的动点，以CE为直径的⊙O与BC交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．
（1）若FG是⊙O的切线，求DE的长度；
（2）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时DE的长度；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接EF，FD；
∵GF为圆的切线且又和EB垂直，
∴BE∥FD，
∴∠BEF=∠DFE；
又∵∠DFE=∠FEC，
∴∠BEF=∠CEF，
∴EF为∠BEC的平分线；
∵∠EFC=90°，
∴EF⊥BC，
∴BE=CE
∴△BEC为等腰三角形，
∴BF为BC的一半；
∵ED∥BF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
即ED=BF=2.5；

（2）BE不能与⊙O相切．
∵若BE与圆相切，
∴BE⊥EC；
∴△BEC是圆内接三角形，即BC为直径，EF为一个半径，
∵最短为3＞2.5，
∴BE不能与⊙O相切．
分析：（1）连接EF，FD，由GF为圆的切线且又和EB垂直，可知BE∥FD，推出∠BEF=∠DFE，而∠DFE=∠FEC可得∠BEF=∠CEF所以EF为∠BEC的平分线．又因为∠EFC为直角可知EF⊥BC，所以△BEC为等腰三角形，得到BF为BC的一半，又因为ED∥BF，可知四边形BEDF为平行四边形，即ED=BF=2.5．
（2）若BE与圆相切，BE必垂直EC，我们可把三角形BEC看作一个圆内接三角形，即BC为直径，EF为一个半径，但最短为3＞2.5，所以BE不能与⊙O相切．
点评：本题考查了圆内接图形和切线的性质，做题时注意巧妙运用辅助线．