Question

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．
①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），
∴，
解得：，
∴所求抛物线的函数表达式是y=x²-x+2．

（2）①∵当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设直线BC的函数表达式是y=kx+b．
则有，
解得：．
∴直线BC的函数表达式是y=-x+2．
∵0＜x＜6，点P、Q的横坐标相同，
∴PQ=y_Q-y_P=（-x+2）-（x²-x+2）
=-x²+x
=-（x-3）²+1
∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．

②解：当∠OAQ=90°时，点P与点A重合，
∴P（3，0）
当∠QOA=90°时，点P与点C重合，
∴x=0（不合题意）
当∠OQA=90°时，
设PQ与x轴交于点D．
∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，
∴∠OQD=∠QAD．
又∵∠ODQ=∠QDA=90°，
∴△ODQ∽△QDA．
∴，即DQ²=OD•DA．
∴（-x+2）²=x（3-x），
10x²-39x+36=0，
∴x₁=，x₂=，
∴y₁=×（）²-+2=；
y₂=×（）²-+2=；
∴P（，）或P（，）．
∴所求的点P的坐标是P（3，0）或P（，）或P（，）．
分析：（1）已知了A，B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式．
（2）①QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在（1）中已经求出，而一次函数可根据B，C的坐标，用待定系数法求出．那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就是关于PQ，x的函数关系式，那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值．
（3）分三种情况进行讨论：
当∠QOA=90°时，Q与C重合，显然不合题意．因此这种情况不成立；
当∠OAQ=90°时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；
当∠OQA=90°时，如果设QP与x轴的交点为D，那么根据射影定理可得出DQ²=OD•DA．由此可得出关于x的方程即可求出x的值，然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标．
点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，用数形结合的思想来求解是解题的基本思路．