Question

如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACD的角平分线相交于点E，
（1）如果已知∠A=60°，∠ABC=50°，求∠E的大小．
（2）如果已知∠A=70°，∠ABC=60°，求∠E的大小．
（3）根据（1）和（2）的结论，试猜测一般情况下，∠E和∠A的大小关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）因为∠A=60°，∠ABC=50°，
所以∠ACB=180°-∠A-∠ABC=70°．
∠ACD=∠A+∠ABC=110°．
因为EB平分∠ABC，EC平分∠ACD，
所以∠EBC=∠ABC=25°，∠ACE=∠ACD=55°．
所以∠E=180°-∠EBC-∠ACE-∠ACB
=180°-25°-55°-70°=30°．
（2）因为∠A=70°，∠ABC=60°，
所以∠ACB=180°-∠A-∠ABC=50°．
∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°．
因为EB平分∠ABC，EC平分∠ACD，
所以∠EBC=∠ABC=30°，∠ACE=∠ACD=75°．
所以∠E=180°-∠EBC-∠ACE-∠ACB
=180°-30°-50°-75°=35°．
同理可得∠E=35°．

（3）猜测∠A=2∠E，下面说明理由：
因为EB平分∠ABC，EC平分∠ACD，
所以∠ABE=∠ABC，∠ECD=∠ACD．
因为∠A+∠ABE+∠AFB=∠E+∠ECF+∠EFC=180°，
又因为∠AFB=∠EFC，
所以∠A+∠ABE=∠E+∠ECF．
因为∠ECD=∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+∠ABE．
所以∠A+∠ABE=∠E+∠A+∠ABE．
所以∠E=∠A．
分析：已知在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACD的角平分线相交于点E，则得到∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，再根据已知角的度数求出∠E的大小．
点评：本题考查角平分线的性质，以及三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．