Question

15．如图所示，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，且AE平分∠BAC，AF=AB，求证：EF∥BC．

Answer 1

分析 先证明△AEB≌△AEF，则∠AFE=∠ABD，根据同角的余角相等易证∠C=∠ABD，所以∠AFE=∠C，所以EF∥BC．

解答 证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
在△AEB和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AB}\\{∠BAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AEF（SAS），
∴∠AFE=∠ABD，
∵∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴∠ABD+∠CBD=∠C+CBD=90°，
∴∠C=∠ABD，
∴∠AFE=∠C，
∴EF∥BC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．