Question

【题目】（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

Answer 1

【答案】（1）y=－+x+4；（2）不存在．

【解析】

试题首先设抛物线的解析式为一般式，将点C和点A意见对称轴代入求出函数解析式；本题利用假设法来进行证明，假设存在这样的点，然后设出点F的坐标求出FH和FG的长度，然后得出面积与t的函数关系式，根据方程无解得出结论．

试题解析：（1）∵抛物线y=a+bx+c（a≠0）过点C（0，4） ∴C=4①

∵－=1 ∴b=－2a② ∵抛物线过点A（－2，0） ∴4a－2b+c=0 ③

由①②③解得：a=－，b=1，c=4 ∴抛物线的解析式为：y=－+x+4

（2）不存在 假设存在满足条件的点F，如图所示，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．设点F的坐标为（t，+t+4），其中0＜t＜4 则FH=+t+4 FG=t

∴△OBF的面积=OB·FH=×4×（+t+4）=－+2t+8 △OFC的面积=OC·FG=2t

∴四边形ABFC的面积=△AOC的面积+△OBF的面积+△OFC的面积=－+4t+12

令－+4t+12=17 即－+4t－5=0 △=16－20=－4＜0 ∴方程无解

∴不存在满足条件的点F