Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，求S_△BCD．

Answer 1

解：∵AC与圆O相切，且D为切点，
∴OD⊥AC，
在直角三角形AOD中，AD=2，AE=1，
设OD=x，OA=AE+EO=1+x，
根据勾股定理得：OA²=AD²+OD²，即（1+x）²=2²+x²，
解得：x=1.5，
∴OD=1.5，EB=3，AO=2.5，AB=AE+EB=1+3=4，
过点D作DF⊥AB，如图所示：

∴S_△ADO=AD•DO=AO•DF，
∴DF==1.2，
∴S_△ADB=AB•DF=2.4，
∵∠ABC=90°，
∴BC与圆O相切，又CD与圆O相切，
∴CB=CD，
在直角三角形ABC中，设CB=CD=y，
∴AC=AD+DC=2+y，AB=4，
根据勾股定理得：AC²=AB²+BC²，即（2+y）²=4²+y²，
解得：y=3，
∴CB=CD=3，
∴S_△ABC=AB•BC=6，
则S_△BCD=S_△ABC-S_△ADB=6-2.4=3.6．
分析：由AC与圆O相切，根据切线的性质得到OD与AC垂直，可得出三角形AOD为直角三角形，设OD=OE=x，用AO=AE+EO，由AE的长及设出的OE表示出OA，再由AD的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OD，EB，AO及AB的长，过点D作DF垂直于AB，由直角三角形AOD的面积由斜边OA与DF乘积的一半来求，也可以由AD与DO乘积的一半来求，进而求出DF的长，即为三角形ADB中AB边上的高，求出三角形ADB的面积，再由∠ABC=90°，判定出BC为圆的切线，又CD也为圆的切线，根据切线长定理得到CD=CB，可设CD=CB=y，表示出AC，再由AB的长，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于y的方程，求出方程的解得到y的值，确定出CB的长，利用两直角边AB及BC乘积的一半求出三角形ABC的面积，用三角形ABC的面积减去三角形ABD的面积，即可求出三角形BCD的面积．
点评：此题考查了切线的性质与判定，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线长定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．