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(2001•河南)如图,在直角坐标系中,以(a,0)为圆心的O′与x轴交于C、D两点,与y轴交于A、B两点,连接AC.
(1)点E在AB上,EA=EC,求证:AC2=AE•AB;
(2)在(1)的结论下,延长EC到F,连接FB,若FB=FE,试判断FB与⊙O′的位置关系,并说明理由;
(3)如果a=2,⊙O′的半径为4,求(2)中直线FB的解析式.

【答案】分析:(1)欲证AC2=AE•AB,可以证明△ACE∽△ABC得出;
(2)判断FB与⊙O′的位置关系,可以连接O′B,证明∠O′BF=90°,得出FB与⊙O′相切;
(3)确定B,F两点的坐标,待定系数法求出直线FB的解析式.
解答:(1)证明:连接BC,∵EA=EC,
∴∠A=∠ACE,
∵AB⊥CD,
∴AC=BC,
∴∠A=∠ABC,
∴∠ACE=∠ABC,
∵∠A=∠A,
∴△ACE∽△ABC,
∴AC:AB=EC:AC,
∴AC2=AE•AB;

(2)解:连接O′B,BD,
∵FB=FE,
∴∠FBE=∠FEB,
∵∠ODB=∠ABC,
∵∠ODB=∠O′BD,
∴∠A=∠ABC,
∴∠BEF=∠A+∠ACE,
∴∠FBC=∠O′BD,
∵∠DBC=90°,
∴∠O′BF=90°,
∴FB与⊙O′相切;

(3)解:O′B==2,B(0,-2),
∵DC⊥AB,
∴O为AB的中点,
即AO=OB=2
∴EA=EC=OA-OE,
设OE的长为x,则EC=2-x,
在Rt△OCE中4+x2=,x=
过点F作FG⊥BE,
∵EB=OB+OE=2+=,且FB=FE,
∴GB=EB=,∴OG=OB=GB=
∵OC∥FG,
=,即=
解得FG=4,
∴F(-4,-),
直线PB的解析式为y=kx+b,将B(0,-2),F(-4,-)代入得y=-x-2
点评:本题考查了相似三角形的性质,切线的判定,及用待定系数法求出直线的解析式,计算量大,望仔细做题.
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(2)在(1)的结论下,延长EC到F,连接FB,若FB=FE,试判断FB与⊙O′的位置关系,并说明理由;
(3)如果a=2,⊙O′的半径为4,求(2)中直线FB的解析式.

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A.
B.
C.
D.

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