Question

（2012•黄石）如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B₁C₁⊥AC于C₁交AB的延长线于B₁．
（1）请你探究：

AC

AB

=

CD

DB

，

AC1

AB1

=

C1D

DB1

是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问

AC

AB

=

CD

DB

一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图2所示Rt△ABC中，∠ACB=90?，AC=8，AB=

40

3

，E为AB上一点且AE=5，CE交其内角角平分线AD于F．试求

DF

FA

的值．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，则DB=CD，易得

AC

AB

=

CD

DB

；由于∠C₁AB₁=60°，得∠B₁=30°，则AB₁=2AC₁，同理可得到DB₁=2DC₁，易得

AC1

AB 1

=

C1D

DB1

；
（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E=∠CAD=∠BAD，则BE=AB，并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到

AC

BE

=

CD

DB

，而BE=AB，于是有

AC

AB

=

CD

DB

，这实际是三角形的角平分线定理；
（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论得到

CD

DB

=

AC

AB

=

8

40 3

=

3

5

，

EF

FC

=

AE

AC

=

5

8

，又

AE

EB

=

5

40 3 -5

=

3

5

，则有

CD

DB

=

AE

EB

，得到DE∥AC，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，即有
∴

DF

AF

=

EF

CF

=

5

8

．

解答：解：（1）两个等式都成立．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，AD为角平分线，
∴AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，
∴DB=CD，
∴

AC

AB

=

CD

DB

；
∵∠C₁AB₁=60°，
∴∠B₁=30°，
∴AB₁=2AC₁，
又∵∠DAB₁=30°，
∴DA=DB₁，
而DA=2DC₁，
∴DB₁=2DC₁，
∴

AC1

AB 1

=

C1D

DB1

；

（2）结论仍然成立，理由如下：
如右图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
∴∠E=∠CAD=∠BAD，
∴BE=AB，
∵BE∥AC，
∴△EBD∽△ACD，
∴

AC

EB

=

CD

BD

而BE=AB，
∴

AC

AB

=

CD

DB

；

（3）如图，连DE，
∵AD为△ABC的内角角平分线
∴

CD

DB

=

AC

AB

=

8

40 3

=

3

5

，

EF

FC

=

AE

AC

=

5

8

，
又∵

AE

EB

=

5

40 3 -5

=

3

5

，
∴

CD

DB

=

AE

EB

，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴

DF

AF

=

EF

CF

=

5

8

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其它两边所截，所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质．