Question

2．如图，E、F是正方形ABCD外接圆上的两个点，且∠EBF=45°，AD与BF的延长线交于点P，求证：
（1）EC∥BP；
（2）BP•BE=$\sqrt{2}$AB²．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到$\widehat{CAB}$的度数=270°，由圆周角定理得到∠E=$\frac{1}{2}$×270°=135°，证得∠E+∠EBF=180°，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BD，根据正方形的性质得到∠ADB=45°，BD=$\sqrt{2}$AB，AP∥BC，AB=BC，根据邻补角的定义得到∠PDB=135°，根据平行线的性质得到∠P=∠PBC=∠ECB，推出△PBD∽△BCE，根据相似三角形的性质得到$\frac{PB}{BC}=\frac{BD}{BE}$，等量代换即可得到结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴$\widehat{CAB}$的度数=270°，
∴∠E=$\frac{1}{2}$×270°=135°，
∵∠EBF=45°，
∴∠E+∠EBF=180°，
∴EC∥BP；

（2）连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，BD=$\sqrt{2}$AB，AP∥BC，AB=BC，
∴∠PDB=135°，
∴∠PDB=∠E，
∵AP∥BC，CE∥PB，
∴∠P=∠PBC=∠ECB，
∴△PBD∽△BCE，
∴$\frac{PB}{BC}=\frac{BD}{BE}$，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{\sqrt{2}AB}{BE}$，
∴BP•BE=$\sqrt{2}$AB²．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，连接BD构造相似三角形是解题的关键．