Question

已知，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A，D，B三点，CB的延长线交⊙O于点E，延长AC至F，使得CF=CD，连接EF
（1）求证：AE=CE；
（2）若

CE

CD

=

3

，求证：EF为⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结DE，如图，根据圆周角定理，由∠ABE=90°得到AE为⊙O的直径，则∠ADE=90°，接着证明DE垂直平分AC，于是利用线段垂直平分线的性质即可得到AE=CE；
（2）设CD=a，CE=

3

a，则CF=CD=AD=a，再利用勾股定理计算出DE=

2

a，EF=

6

a，则

FE

FA

=

FD

FE

=

6

3

，加上∠DFE=∠EFA，则可判断△FDE∽△FEA，于是得到∠FDE=∠FEA=90°，然后根据切线的判断定理得到EF为⊙O的切线．

解答：（1）证明：连结DE，如图，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE为⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴ED⊥AC，
∵D是AC的中点，
∴DE垂直平分AC，
∴AE=CE；
（2）证明：由

CE

CD

=

3

，设CD=a，CE=

3

a，
则CF=CD=AD=a，
在Rt△CDE中，∵CD=a，CE=

3

a，
∴DE=

CE2-CD2

=

2

a，
在Rt△DEF中，∵DF=2a，DE=

2

a，
∴EF=

DF2+DE2

=

6

a，
∵

FE

FA

=

6 a

3a

=

6

3

，

FD

FE

=

2a

6 a

=

6

3

，
∴

FE

FA

=

FD

FE

，
而∠DFE=∠EFA，
∴△FDE∽△FEA，
∴∠FDE=∠FEA=90°，
∴AE⊥EF，
∴EF为⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．