Question

17．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．
（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：ED=AE+BD；
（2）如图2，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交时，请你探究ED、AE、BD三者之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据垂直定义求出∠AEC=∠BDC=90°，求出∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，求出∠EAC=∠BCD，根据AAS推出△AEC≌△CDB，根据全等三角形的性质推出CE=BD和AE=CD即可；
（2）根据垂直定义求出∠AEC=∠BDC=90°，求出∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，求出∠EAC=∠BCD，根据AAS推出△AEC≌△CDB，根据全等三角形的性质推出CE=BD和AE=CD即可．

解答 （1）证明：∵直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠BCD，
在△AEC和△CDB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠DCB}\\{∠AEC=∠BDC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△AEC≌△CDB（AAS），
∴CE=BD，AE=CD，
∵ED=CE+CD，
∴ED=AE+BD；

（2）解：ED=BD-AE，
理由是：∵直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠BCD，
在△AEC和△CDB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠DCB}\\{∠AEC=∠BDC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△AEC≌△CDB（AAS），
∴CE=BD，AE=CD，
∵ED=CE-CD，
∴ED=BD-AE．

点评 本题考查了垂直定义，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，能求出△AEC≌△CDB（是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．