Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，P为BA延长线上一点，连接CA、CD、AD，且∠PCA＝∠ADC，CE⊥AB于E，并延长交AD于F．

（1）求证：PC为⊙O的切线；

（2）求证：；

（3）若，，求PA的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）如图（见解析），先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得，然后根据角的和差可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；

（2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质即可得证；

（3）先根据圆周角定理、直角三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，又根据圆周角定理、正切三角函数可得，然后设，由题（2）的结论可得，最后根据相似三角形的性质可得，由此即可得出答案．

（1）如图，连接OC

由圆周角定理得：，即

，即

又是⊙O的半径

PC是⊙O的切线；

（2）如图，连接BC

由圆周角定理得：

在和中，

即；

（3），即

由圆周角定理得：

又

在和中，

，即

或（不符题意，舍去）

，即

解得

，

设，则

由（2）可知，，即

又由（2）可知，

，即

解得或

经检验，是所列方程的根，是所列方程的增根

故PA的长为．