Question

18．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}+\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$的最小值．
解析：$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$和$\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$是勾股定理的形式，$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，$\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角三角形△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1）向右平移直角三角形ABC使点B和E重合（图2），这时CF=x+12-x=12，AC=3，DF=2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”，根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
小结：本题利用代数式$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}+\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$的形式特点，把它转化成为两个直角三角形的问题，从而利用已学过的几何知识来解决这个代数式问题，这就是建模思想与数形结合思想，回答下面问题：
（1）请你完成例题的解答；
（2）变式训练：求代数式$\sqrt{{x}^{2}+16}$+$\sqrt{（10-x）^{2}+4}$的最小值；
（3）拓展练习：解方程$\sqrt{9-{x}^{2}}$+$\sqrt{16-{x}^{2}}$=5（利用几何方法解答）

Answer 1

分析 （1）$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$和$\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$是勾股定理的形式，$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，$\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角三角形△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1）向右平移直角三角形ABC使点B和E重合（图2），这时CF=x+12-x=12，AC=3，DF=2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”，根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值；
（2）解法类似（1）；
（3）构造图形如图2，当AC=3，BC=4，CD=x，∠ADC=∠BDC=90°，由勾股定理得到AD=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，BD=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，AB=5，推出∠ACB=90°，根据三角形的面积公式即可得到CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，于是得到结论．

解答 解：（1）$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$和$\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$是勾股定理的形式，$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，$\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角三角形△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1）向右平移直角三角形ABC使点B和E重合（图2），这时CF=x+12-x=12，AC=3，DF=2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”，根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
如图2中，作AM⊥DF交DF的延长线于M．

当A、B、D共线时，AB+BD最小，在Rt△AMD中，AD=$\sqrt{A{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∴代数式$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}+\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$的最小值为13．

（2）模仿（1）可知，当AC=4，BC=x，BF=10-x，DF=2，
代数式$\sqrt{{x}^{2}+16}$+$\sqrt{（10-x）^{2}+4}$的最小值就是AB+BD的最小值，即线段AD的值，
在Rt△AMD中，AD=$\sqrt{A{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
∴代数式$\sqrt{{x}^{2}+16}$+$\sqrt{（10-x）^{2}+4}$的最小值为2$\sqrt{34}$．

（3）构造图形如图2，当AC=3，BC=4，CD=x，∠ADC=∠BDC=90°，
则AD=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，BD=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，
∴AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
即x=±$\frac{12}{5}$．
经检验x=±$\frac{12}{5}$都是方程的解．
则方程的解是x=±$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查最小值问题、勾股定理、两点之间线段最短、无理方程等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，把代数问题转化为几何问题是解题的突破点，属于中考压轴题．