Question

17．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，且DE⊥AC，DF⊥BC，求证：四边形DECF是正方形．

Answer 1

分析 先求出四边形是矩形，再推出DF=CF，根据正方形的判定推出即可．

解答 证明：如图，

∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠DFC=∠FCE=∠DEC=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DF∥EC，
∴∠FDC=∠ECD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD=∠ECD，
∴∠FDC=∠FCD，
∴DF=CF，
∴四边形DECF是正方形．

点评 本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，角平分线定义，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．