Question

已知关于x的方程x²-（k+2）x+k²+1=0
（1）k取什么值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）如果方程的两个实数根x₁、x₂（x₁＜x₂）满足x₁+|x₂|=3，求k的值和方程的两根．

Answer 1

解：（1）在已知一元二次方程中，
a=1，b=-（k+2），c=（k²+1），
又由△=b²-4ac
=[-（k+2）]²-4（k²+1）
=k²+4k+4-k²-4=4k＞0，
得k＞0，
即k＞0时方程有两个不相等的实数根；
〖无、所在行之中间步骤，即跳过此步不扣分，余同〗

（2）法一：由，
∵x₁＜x₂，k＞0，
∴＞0
∴|x₂|=x₂．
由x₁+|x₂|=3，得x₁+x₂=3，
由根与系数关得k+2=3．
即k=1
此时，原方程化为x²-3x+=0，
解此方程得，x₁=，x₂=，
法二：由x₁x₂=k²+1＞0，
又∵k＞0，
∴x₁+x₂=k+2＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0；
∴|x₂|=x₂．
下同法一．
分析：（1）由于方程有两个不相等的实数根，所以方程的判别式是正数，一次即可确定k的取值范围；
（2）由于方程的两个实数根x₁、x₂（x₁＜x₂）满足x₁+|x₂|=3，通过分类讨论去掉绝对值的符号，然后利用根与系数的关系即可求出k的值和方程的两个根．
点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．