Question

3．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的图象交于A（m，6）、B（3，n）两点
（1）求一次函数的解析式；
（2）使kx+b＜x成立的x的取值范围是x＞$\frac{8}{3}$，△AOB的面积等于8．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以求得点A和点B的坐标，从而可以求得过点A和点B的一次函数的解析式；
（2）根据（1）中的答案可以求得kx+b＜x成立的x的取值范围，根据（1）中的函数解析式可以求得△AOB的面积．

解答 解：（1）∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的图象交于A（m，6）、B（3，n）两点，
∴$6=\frac{6}{m}$，n=$\frac{6}{3}$，
得m=1，n=2，
∴点A（1，6），点B（3，2），
∵过点A和B的直线的解析式为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
即一次函数的解析式为y=-2x+8；
（2）由题意可得，
-2x+8＜x，
解得，x＞$\frac{8}{3}$，
设直线y=-2x+8于x轴交于点C，于y轴交于点D，如右图所示，
则y=0时，x=4，当x=0时，x=8，
∴点C为（4，0），点D为（0，8），
∴S_△AOB=S_△COD-S_△OCB-S_△OAD=$\frac{4×8}{2}-\frac{4×2}{2}-\frac{8×1}{2}$=8，
故答案为：x＞$\frac{8}{3}$，8．

点评 本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数和反比例函数的性质解答．