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(2011•龙岗区三模)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(5,0)两点,最低点的纵坐标为-4,与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)如图1,若△ABC的外接圆⊙O1交y轴不同于点C的点D,且CD=AB,求tan∠ACB的值;
(3)如图2,设⊙O1的弦DE∥x轴,在x轴上是否存在点F,使△OCF与△CDE相似?若存在,求出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)根据抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(5,0)两点,可得函数对称轴方程,又因为函数最低点的纵坐标为-4,所以可求的抛物线顶点坐标,设出抛物线顶点式,利用待定系数法解答即可;
(2)作出辅助线,过点O1作O1P⊥x轴于P,连接O1A,构造有一角∠AO1P与∠ACB相等的直角三角形,并求出相应边长,根据正切函数定义解答;
(3)①由(2)中结论,直线CF1过C(0,5),O(3,3),可求出CF1的解析式,易得F1的坐标;
②根据对称性,由①可以求出x轴上另一点F2(-,0).
③④△OCF3与△DEC时,根据相似三角形的性质求出OF3的横坐标.
解答:解:(1)因为抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(5,0)两点,
所以二次函数的对称轴为x==3,
因为其最低点的纵坐标为-4,
故顶点坐标为(3,-4).
设解析式为
y=a(x-3)2-4;
将A(1,0)代入解析式得a(1-3)2-4=0,
即a=1,
解析式为y=(x-3)2-4,
化为一般式得抛物线的函数解析式为:y=x2-6x+5;(本小题3分)

(2)tan∠ACB=
过点O1作O1P⊥x轴于P,连接O1A,
由抛物线与圆的对称性可知O1P所在的直线是抛物线的对称轴.
故OP=3,AP=OP-OA=2,由CD=AB得:CD=AB=4
过点O1作O1Q⊥y轴于Q,由垂径定理得:DQ=CQ=2,O1P=OQ=OC-CQ=3,
故tan∠ACB=tan∠AO1P==;(本小题3分)

(3)①设CE交x轴于F1
因为DE∥AB,所以∠DEC=∠OFC,∠COF1=∠CDE,
所以△OCF1∽△DCE.
直线CF1过C(0,5),O(3,3),
得其解析式为y=-x+5;
当y=0时,得x=,所以F1,0).
②△OCF2与△DCE相似时,根据对称性,由①可以求出x轴上另一点F2(-,0).
③△OCF3与△DEC相似时,=
=
两边平方得OF3
存在点F,点F的坐标分别为:
F1,0)、F2,0)、F3,0)、F4,0).
(适当写出过程,每求出一个点得1分)
点评:此题综合考查了用待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的性质和圆周角与圆心角的关系等基础知识,还结合相似三角形的性质考查了点的存在性问题,有一定的难度.
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