Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根据对称，先作出点E关于直线AC的对称点E′，则点E′一定在边AD上，PE+PB的最小值即线段BE′的长．

解答：解：如图，作EO⊥AC，并延长EO交AD于点E′，
∵对角线AC平分∠BAD，∠BAD=90°，
∴点E、E′关于AC对称，
∴PE=PE′，AE=AE′，
∴PE+PB的最小值即线段BE′的长．
∵AE=2，AB=6，
∴AE′=2，
在直角三角形ABE′中，由勾股定理得，
BE′=

AE′2+AB2

=

22+62

=2

10

，
∴PE+PB的最小值是 2

10

．
故答案为2

10

．

点评：本题考查了轴对称，最短路径问题，解决此题的关键是作出点B或E两点的对称点，将两条线段的和放到一条线段上来求．