Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx-2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且A（-1，0）、B（3，0）．
（1）求该抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）若点M是x轴上的一个动点，设△MDC的面积为S，动点M的坐标为（1，0），令Q=S（3t-19），当1＜t＜3时，Q是否有最小值？若有，请求出Q的最小值和此时t的值；若没有，请说明理由；
（3）在抛物线上有一个动点P，y轴上有一个动点N，使得以A、B、P、N为顶点的四边形是平行四边形，请求出点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）应用待定系数法把A、B点的坐标代入抛物线y=ax²+bx-2中即可解得，然后用求顶点的公式即可求得顶点坐标．
（2）用梯形的面积减去三角形的面积即可求得．
（3）依据平行四边形的性质即可设出P的坐标为（4，n），代入抛物线的解析式即可求得．

解答：（1）把A、B点的坐标代入抛物线y=ax²+bx-2的解析式得：

0=a-b-2 0=9a+36-2

，
解得；

a= 2 3 b=- 4 3

，
∴该抛物线的表达式为：y=

2

3

x²-

4

3

x-2，
∵y=

2

3

x²-

4

3

x-2，
∴y=

2

3

（x-1）²-

8

3

，
∴顶点D的坐标为：（1，-

8

3

）．

（2）如图2所示，∵M（1，0），D（1，-

8

3

）、C（0，-2），
∴OM=1，OC=2，DM=

8

3

，
∴S_△MCD=S_梯形OCDM-S_△OCM=

4

3

，
令Q=S（3t-19），
∴Q=

4

3

（3t-19）=4t-

76

3

，
∴当1＜t＜3时，Q是没有最小值．

（3）如图3所示，由A（-1，0）、B（3，0）；
可知AB=4，
∵A、B、P、N为顶点的四边形是平行四边形；
∴设P点的坐标为（4，n），
把P点的坐标代入抛物线的表达式y=

2

3

x²-

4

3

x-2，
解得；n=

10

3

，
∴P点的坐标为：（4，

10

3

）．

点评：题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质以及坐标系中面积的求法．