Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延长CA到O，使AO=AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,勾股定理,扇形面积的计算

专题：计算题,证明题

分析：（1）连接OD，求出∠OAD=60°，得出等边三角形OAD，求出AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，求出∠ADC=∠ACD=

1

2

∠OAD=30°，求出∠ODC=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）求出OD，根据勾股定理求出CD长，分别求出三角形ODC和扇形AOD的面积，相减即可．

解答：（1）证明：连接OD，
∵∠BCA=90°，∠B=30°，
∴∠OAD=∠BAC=60°，
∵OD=OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，
∴∠ADC=∠ACD=

1

2

∠OAD=30°，
∴∠ODC=60°+30°=90°，
即OD⊥DC，
∵OD为半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵AB=4，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴OD=OA=AC=

1

2

AB=2，
由勾股定理得：CD=

OC2-OD2

=

42-22

=2

3

，
∴S_阴影=S_△ODC-S_扇形AOD=

1

2

×2×2

3

-

60π×22

360

=2

3

-

2

3

π．

点评：本题考查了扇形的面积，切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，综合性比较强，有一定的难度．