Question

已知：抛物线y=ax²+bx与x铀的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点．
（1）证明：△OAB为等边三角形；
（2）若△OAB的内切圆半径为1，求出抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：作AC⊥OB于点C；
∵点A在直线y=x上，设A（x，x）．
在直角三角形OAC中，tan∠AOC===，
∴∠AOC=60°
由抛物线的对称性可知：OA=AB，
∴△AOB为等边三角形．

（2）解：当a＜0时，设△AOB的内心为I，则∠IOC=30°，在直角三角形IOC中，
∵IC=1，OC=．
∴抛物线的对称轴x=-=，
∴a=-1，b=2．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x．
当a＞0时，同法可求，另一条抛物线的解析式为y=x²+2x．

（3）解：易知：抛物线与x轴的两交点为O（0，0），B（-，0）．
且顶点A（-，-）在直线y=x上，
∴-=（-），
解得b=2，b=0（舍去）．
∴B（-，0）
抛物线的解析式为y=ax²+2x．
假设存在符合条件的点P（m，n）．
过点P做PD⊥OB于D，则根据射影定理有：
PD²=OD•BD；
由题意知：y=ax²+2x，
∴，
解得：，
，
∴存在符合条件的P点，且坐标为：P（，-）或（，-）．
分析：（1）根据直线OA的斜率不难得到∠AOB=60°，根据抛物线的对称性可知AB=OA，由此得证．
（2）由于抛物线的开口方向不确定，因此分a＞0和a＜0两种情况求解．以a＜0为例说明：
可设三角形AOB的内心为I，过A作AC⊥OB，则I必在AC上，连接IO，在构建的直角三角形IOC中，∠IOC=30°，已知了IC=1，即可求出OC和IO的长，也就能求出B点和A点的坐标，然后将这两点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．（a＞0时，解法完全相同）．
（3）如果△POB是直角三角形，那么如果过P作x轴的垂线，根据射影定理即可得出P点纵坐标绝对值的平方等于P点横坐标绝对值和P、B两点横坐标差的绝对值的乘积．然后联立抛物线的解析式即可求出P点坐标．
点评：本题是二次函数综合题，考查了等边三角形的判定、二次函数解析式的确定、三角形内心等知识点．综合性强，难度较大．