Question

11．已知抛物线y=ax²+bx+2经过A（-1，0），B（2，0），C三点．直线y=mx+$\frac{1}{2}$交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN=2NF，求出此时点P的坐标；
（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，然后求得a，b的值，从而得到问题的答案；
（2）把A（-1，0）代入y=mx+$\frac{1}{2}$求得m的值，可得到直线AQ的解析式，设点P的横坐标为n，则P（n，-n²+n+2），N（n，$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{2}$），F（n，0），
然后用含n的式子表示出PN、NF的长，然后依据PN=2NF列方程求解即可；
（3）连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小，先求得点M的坐标，然后求得AM和DE的解析式，最后在求得两直线的交点坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+2经过A（-1，0），B（2，0），
∴将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{4a+2b+2=0}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+2．

（2）直线y=mx+$\frac{1}{2}$交抛物线与A、Q两点，把A（-1，0）代入解析式得：m=$\frac{1}{2}$，
∴直线AQ的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
设点P的横坐标为n，则P（n，-n²+n+2），N（n，$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{2}$），F（n，0），
∴PN=-n²+n+2-（$\frac{1}{2}$n$+\frac{1}{2}$）=-n²+$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$，NF=$\frac{1}{2}$n$+\frac{1}{2}$．
∵PN=2NF，即-n²+$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$=2×（$\frac{1}{2}$n$+\frac{1}{2}$），解得：n=-1或$\frac{1}{2}$．
当n=-1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．
∴点P的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）．
（3）∵y=-x²+x+2，=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴M（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）．
如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小．

设直线AM的函数解析式为y=kx+b，且过A（-1，0），M（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{\frac{1}{2}k+b=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴直线AM的函数解析式为y=$\frac{3}{2}x$+$\frac{3}{2}$．
∵D为AC的中点，
∴D（-$\frac{1}{2}$，1）．
设直线AC的解析式为y=kx+2，将点A的坐标代入得：-k+2=0，解得k=2，
∴AC的解析式为y=2x+2．
设直线DE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+c，将点D的坐标代入得：$\frac{1}{4}$+c=1，解得c=$\frac{3}{4}$，
∴直线DE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$．
将y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$与y=$\frac{3}{2}x$+$\frac{3}{2}$联立，解得：x=-$\frac{3}{8}$，y=$\frac{15}{16}$．
∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（-$\frac{3}{8}$，$\frac{15}{16}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质，用含n的式子表示出PN、NF的长是解答问题（2）的关键；明确相互垂直的两直线的一次项系数乘积为-1是解答问题（3）的关键．