精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
阅读材料:在直角三角形中,30°所对的直角边是斜边的一半.
如图,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中,A,B两点坐标分别为
(3,0)和(0,).动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动,点P在AO,OB,BA上运动,速度分别为1,,2(单位长度/秒).一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以(单位长度/秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持l∥x轴),且分别与OB,AB交于E,F两点﹒设动点P与动直线l同时出发,运动时间为t秒,当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时,直线l和动点P同时停止运动.
请解答下列问题:
(1)过A,B两点的直线解析式是______
【答案】分析:(1)考查了待定系数法求一次函数;
(2)此题要掌握点P的运动路线,要掌握点P在不同阶段的运动速度,即可求得;
(3)此题需要分三种情况分析:点P在线段OA上,在线段OB上,在线段AB上;根据菱形的判定可知:在线段EF的垂直平分线上与x轴的交点,可求的一个;当点P在线段OB上时,形成的是三角形,不存在菱形;当点P在线段BA上时,根据对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形求得.
解答:解:(1)设直线AB的解析式是y=ax+b(a≠0).则

解得,
故直线AB的解析式为:y=-x+3;(4分)

(2)∵A,B两点坐标分别为(3,0)和(0,),
∴AO=3,OB=3
∴tAO=3÷1=3(秒),tOB=4-3=1(秒),
∴P(0,);
根据题意知,点P与点E在OB上重合,则
=+,即=3+
解得,OE=
∴t=÷=,即t=;(4分)(各2分)

(3)①当点P在线段AO上时,过F作FG⊥x轴,G为垂足(如图1)
∵OE=FG,EP=FP,∠EOP=∠FGP=90°,
∴△EOP≌△FGP(SAS),∴OP=PG,
又∵OE=FG=t,∠A=60°,∴AG=FGtan60°=t;
而AP=t,
∴OP=3-t,PG=AP-AG=t,
由3-t=t,得
t=;(1分)
当点P在线段OB上时,形成的是三角形,不存在菱形;
当点P在线段BA上时,
过P作PH⊥EF,PM⊥OB,H、M分别为垂足(如图2),则四边形PMEH是矩形,
∴PM=EH.
∵四边形PEP'F是菱形,
∴EH=FH.
∵OE=t,∴BE=3-t,∴EF=BEtan60°=3-
∴MP=EH=EF=,又∵BP=2(t-6)
在Rt△BMP中,BP•cos60°=MP
即2(t-6)•=,解得t=.(1分)
点评:此题考查了待定系数法求一次函数的解析式,还考查了菱形的性质与判定以及相似三角形的判定与性质,解题的关键要注意数形结合思想的应用,还要注意答案的不唯一性.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

结合所给的阅读材料,求解问题.
材料:在直角坐标系中,如果有两点A(a,b),B(a,0),那么称点B是点A在x轴上的射影.
问题:如图,测得飞机的运动曲线是双曲线,飞机在点M的坐标为(-4500
3
,1125),炮弹在点O处沿α角向飞机射击,在点N处命中目标,此时点N在x轴上的射影坐标精英家教网为(-2250
3
,0),已知α=30°,炮弹飞行速度为750米/秒.
问:炮弹从发射到击中目标用了多少时间?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读材料:在直角三角形中,30°所对的直角边是斜边的一半.
如图,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中,A,B两点坐标分别为
(3,0)和(0,3
3
).动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动,点P在AO,OB,BA上运动,速度分别为1,
3
,2(单位长度/秒).一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以
3
3
(单位长度/秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持l∥x轴),且分别与OB,AB交于E,F两点﹒设动点P与动直线l同时出发,运动时间为t秒,当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时,直线l和动点P同时停止运动.
请解答下列问题:
(1)过A,B两点的直线解析式是
y=-
3
x+3
3
y=-
3
x+3
3

(2)当t﹦4时,点P的坐标为
(0,
3
(0,
3
;当t=
9
2
9
2
,点P与点E重合;
(3)作点P关于直线EF的对称点P′.在运动过程中,若形成的四边形PEP′F为菱形,则t的值是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读材料:
在直角坐标系中,已知平面内A(x1,y2)、B(x1,y2)两点坐标,则A、B两点之间的距离等于
(x2-x2)2(y2-y1)2

例:说明代数式
x2+1
+
(x-3)2+4
的几何意义,并求它的最小值.
解:
x2+1
+
(x-3)2+4
=
(x-0)2+(0-1)2
+
(x-3)2+(0-2)2
,如图,建立平面直角坐标系,点P(x,0)是x轴上一点,则
(x-0)2+(0-1)2
可以看成点P与点A(0,1)的距离,
(x-3)2+(0-2)2
可以看成点P与点B(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和,它的最小值就是PA+PB的最小值.
设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度.为此,构造直角三角形A′CB,因为A′C=
3
3
,CB=
3
3
,所以A′B=
3
2
3
2
,即原式的最小值为
3
2
3
2

根据以上阅读材料,解答下列问题:
(1)完成上述填空.
(2)代数式
(x-i)2+1
+
(x-2)2+9
的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)、点B
(2,3)
(2,3)
的距离之和.(填写点B的坐标)
(3)求代数式
x2+49
+
x2-12x+37
的最小值.(画图计算)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:浙江省期中题 题型:填空题

阅读材料:在直角三角形中,30°所对的直角边是斜边的一半.如图,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中,A,B两点坐标分别为(3,0)和(0, ).动点P从A点开始沿折线AO﹣OB﹣BA运动,点P在AO,OB,BA上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查,速度分别为1, ,2(单位长度/秒).一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (单位长度/秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持l∥x轴),且分别与OB,AB交于E,F两点﹒设动点P与动直线l同时出发,运动时间为t秒,当点P沿折线AO﹣OB﹣BA运动一周时,直线l和动点P同时停止运动.
请解答下列问题:
(1)过A,B两点的直线解析式是_____________;
(2)当t﹦4时,点P的坐标为________________ ;当t=____________   ,点P与点E重合;
(3)作点P关于直线EF的对称点P′.在运动过程中,若形成的四边形PEP′F为菱形,则t的值是多少?

查看答案和解析>>

同步练习册答案