Question

2．如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作△ABD和△ACE，且AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠CAE，连接DC，BE，点G，F分别是DC，BE的中点，连接AF，FG．
（1）求证：DC=BE；
（2）当∠BAD=80°时，连接AG，求∠AFG的度数；
（3）若∠BAD=α，请你直接写出∠AFG与α之间满足的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据等式的性质就可以得出∠DAC=∠BAE，进而得出△ADC≌△ABE，根据全等三角形的性质就可以得出DC=BE；
（2）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，根据全等三角形的性质就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质，就可以求出∠AFG的值；
（3）与（2）中的方法类似，根据条件得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质，就可以表示∠AFG与α的关系．

解答 解：（1）∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC=BE；

（2）如图，连接AG．
∵△ADC≌△ABE，
∴∠ADC=∠ABE，AD=AB．
∵G、F分别是DC与BE的中点，
∴DG=$\frac{1}{2}$DC，BF=$\frac{1}{2}$BE，
∴DG=BF．
在△ADG和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADC=∠ABE}\\{DG=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，
∴∠AGF=∠AFG，∠DAG-∠BAG=∠BAF-∠BAG，
∴∠DAB=∠GAF．
∵∠DAB=80°，
∴∠GAF=80°．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，
∴∠AFG=$\frac{1}{2}$（180°-80°）=50°；

（3）∠AFG与α之间满足的数量关系为：∠AFG=90°-$\frac{1}{2}$α．
由（2）可得，当∠DAB=α时，∠GAF=α．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，
∴α+2∠AFG=180°，
∴∠AFG=90°-$\frac{1}{2}$α．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的判定与性质的综合运用，解题时需要运用全等三角形的对应边相等的性质，运用SAS证明三角形全等是解决问题的关键．