Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，AC=BC，D为AB的中点，点M、N分别在AC、CB的延长线上，且MD⊥DN，连MN．
（1）求证：DM=DN；
（2）若∠DMC=15°，BN=1，求MN的长．

Answer 1

证明：（1）连接CD，
∵∠ACB=90゜，AC=BC，
∴∠CBA=45°，CD平分∠ACB，
∴∠DCB=45°，
∴∠DBN=∠MOD=90°+45°=135°，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=BD，CD⊥AB，
∵DM⊥DN，
∴∠CDB=∠MDN=90°，
∴都减去∠BDM得：∠CDM=∠BDN，
在△CDM和△DBN中，
，
∴△CDM≌△DBN（ASA），
∴DM=DN．

（2）解：∵△CDM≌△DBN，
∴∠DMC=∠DNB=15°，CM=BN=1，
∵∠MDN=90°，DN=DM，
∴∠MND=45°，
∴∠MNC=30°，
∵∠ACB=∠MCN=90°，
∴MN=2CN=2．
分析：（1）连接CD，求出CD=BD，∠CDM=∠BDN，∠MCD=∠DBN，证△DCM≌△DBN，推出即可；
（2）求出CM=BN=1，∠MNC=30°，根据含30度角的直角三角形性质推出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．