Question

如图，抛物线m：y=-与x轴的交点为A，B，与y轴的交点为C，顶点为M，已知点A的横坐标为-2，点C的纵坐标为4，将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D．
（1）求点M及点B的坐标；
（2）求抛物线n的函数表达式；
（3）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E，D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF，如果P点的坐标为（x，y），△PEF的面积为S，求S与x轴的函数关系式，写出自变量x的取值范围，试求出其最大值，若S没有最大值，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将A（-2，0），C（0，4）代入y=-，
得，
解得，
∴抛物线m的解析式为y=-x²+x+4，
∵y=-x²+x+4=-（x²-6x）+4=-（x-3）²+，
∴顶点M的坐标为（3，），
解方程-x²+x+4=0，得x₁=-2，x₂=8，
∴点B的坐标为（8，0）．
故点M的坐标为（3，），点B的坐标为（8，0）；

（2）∵抛物线n是由抛物线m：y=-x²+x+4绕点B旋转180°得到的，
∴M与D关于点B成中心对称，
∴D的坐标为（13，-），
∴抛物线n的解析式为：y=（x-13）²-，即y=x²-x+36；

（3）∵点E与点A关于点B中心对称，A（-2，0），B（8，0），
∴E的坐标为（18，0）．
设直线ED的解析式为y=px+q，
则，解得，
∴直线ED的解析式为y=x-．
又点P的坐标为（x，y），
∴S=x•（-y）=-x•（x-）=-x²+x=-（x-9）²+，
∵点P是线段ED上一个动点（P不与E，D重合），
∴13＜x＜18，
∴S=-（x-9）²+（13＜x＜18），
∵该抛物线开口向下，对称轴为x=9，函数图象位于对称轴右侧，y随着x的增大而减小，
∴S在13＜x＜18范围内没有最大值．
故S与x的函数关系式为S=-（x-9）²+，自变量取值范围是13＜x＜18，S没有最大值．
分析：（1）先将A（-2，0），C（0，4）代入y=-，运用待定系数法求出抛物线m的解析式为y=-x²+x+4，再运用配方法求出顶点M的坐标，解方程-x²+x+4=0，即可得到点B的坐标；
（2）由点D、M关于点B成中心对称，求出D点的坐标，从而得到抛物线n的解析式；注意由于开口方向相反，两个抛物线的a值也相反；
（3）先运用待定系数法求出直线DE的解析式，再根据三角形的面积公式求出S与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质及自变量的取值范围即可确定S没有最大值．
点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、运用待定系数法求函数的解析式、图形变换、极值、三角形的面积等知识点，有一定的难度．第（3）问中，考查二次函数在指定区间上的极值，这是本题的一个易错点，需要引起注意．