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精英家教网如图,抛物线交x轴于点A(-2,0),点B(4,0),交y轴于点C(0,4).
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)若直线y=x交抛物线于M,N两点,交抛物线的对称轴于点E,连接BC,EB,EC.试判断△EBC的形状,并加以证明;
(3)设P为直线MN上的动点,过P作PF∥ED交直线MN上方的抛物线于点F.问:在直线MN上是否存在点P,使得以P,E,D,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P及相应的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)设抛物线的解析式是:y=a(x+2)(x-4),将(0,4)代入,求出a=-
1
2
,即可得到抛物线的解析式,把解析式化成顶点式即可求出顶点坐标;
(2)△EBC应为钝角三角形.根据直线MN⊥BC于直线点Q,求出tan∠EBQ=
1
2
,得出∠EBQ<45°即可;
(3)存在.设点P的坐标为点(x0,y0)(x0=y0),只要PF∥ED,PF=ED,根据点F在抛物线上,求出|YF-Y0|=DE=
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2
,求出x0=-1,即可得到点P的坐标和点F的坐标.
解答:解:(1)设抛物线的解析式是:y=a(x+2)(x-4),
将(0,4)代入,得a=-
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2

∴y=-
1
2
x2+x+4,
y=-
1
2
 (x2-2x-8)=-
1
2
 (x-1)2+
9
2
,顶点D为(1, 
9
2
);
答:抛物线的解析式是y=-
1
2
x2+x+4,顶点D的坐标是(1,
9
2
).

(2)答:△EBC应为钝角三角形.精英家教网
证明:∵直线MN⊥BC于直线点Q,
在直角三角形EBQ中,tan∠EBQ=
1
2

∴∠EBQ<45°,
可得∠BEC为钝角,
∴△EBC应为钝角三角形.
∵△OEC≌△OEB,
∴EB=EC,
∴△EBC也是等腰三角形.

(3)解:存在.
设点P的坐标为点(x0,y0)(x0=y0),
∵PF∥ED,
∴只需使得PF=ED,
∵点F在抛物线上,
yF=-
1
2
x
2
0
+x0+4,|yF-y0| =-
1
2
x
2
0
+4=|ED| =
7
2

可解得x0=±1,取x0=-1,
则存在点P的坐标为(-1,-1),点F的坐标为(-1, 
5
2
),符合题目的条件,
答:存在,点P的坐标为(-1,-1),点F的坐标为(-1, 
5
2
).
点评:本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式,锐角三角函数的定义,解一元二次方程等知识点的理解和掌握,综合运用性质进行计算是解此题的关键,题目比较典型,难度适中.
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(2)若直线y=-x交抛物线于M,N两点,交抛物线的对称轴于点E,连接BC,EB,EC.试判断△EBC的形状,并加以证明;
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

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科目:初中数学 来源:北京期末题 题型:解答题

如图,抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于点C,点P是它的顶点,点A的横坐标是-3,点B的横坐标是1。
(1) 求m、n的值;
(2)求直线PC的解析式;
(3)请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线 PC的位置关系,并说明理由。
        (参考数:)

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