Question

【题目】如图1，已知△ABC是等腰三角形，且∠ACB=90°，△ADB是等边三角形，点C在△ADB的内部，DE⊥AC交直线AC于点E．
（1）你能证明“DE=CE”吗？试一试；
（2）如图2，若点C在△ADB的外部时，即点D、E在AB两侧，上述结论是否还成立？说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，过F作DF⊥BC，交BC延长线于F，则∠BFD=90°，

∵△ABD是等边三角形，

∴∠DAB=∠DBA=60°，AD=BD，

∵△ABC是等腰三角形，且∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

∴∠DAC=∠DBF=60°﹣45°=15°，

∵DE⊥AC，

∴∠AED=90°，

∴∠AED=∠BFD，

∴△ADE≌△BDF，

∴DF=DE，

∵∠BFD=∠AED=∠FCE=90°，

∴四边形DFCE是矩形，

∵DE=DF，

∴矩形DFCE是正方形，

∴DE=CE

（2）证明：如图2，过D作DF⊥BC，交CB的延长线于F，则∠F=90°，

∵△ABD是等边三角形，

∴AD=BD，∠DAB=∠DBA=60°，

同理∠CAB=∠CBA=45°，

∴∠EAD=∠DBF=180°﹣60°﹣45°=75°，

∵∠AED=∠BFD=90°，

∴△AED≌△BFD，

∴DE=DF，

同理得：四边形DFCE是正方形，

∴DE=CE．

【解析】（1）如图1，作垂线，构建全等三角形，证明△ADE≌△BDF，得DF=DE，再证矩形DFCE是正方形，从而得出结论：DE=CE；（2）如图2，同理证明△AED≌△BFD和四边形DFCE是正方形，得出结论．
【考点精析】关于本题考查的等腰直角三角形和等边三角形的性质，需要了解等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能得出正确答案．