Question

3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且BC-AD=4，cos∠DBC=0.8，AC=6．求BC的长及梯形的面积．

Answer 1

分析 首先过点D作DF∥AC，交BC于点F，易得四边形ACFD是平行四边形，△BDF是直角三角形，然后由cos∠DBC=0.8，AC=6，求得BF与BD的长，又由BC-AD=4，求得AD与BC的长，然后由S_梯形ABCD=S_△ABD+S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•AC，求得答案．

解答 解：过点D作DF∥AC，交BC于点F，
∵AD∥BC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴CF=AD，DF=AC=6，
∵AC⊥BD，
∴DF⊥BD，
∵cos∠DBC=0.8，
∴sin∠DBC=0.6，
∴BF=$\frac{DF}{sin∠DBC}$=$\frac{6}{0.6}$=10，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-D{F}^{2}}$=8，
∵BF=BC+CF=BC+AD=10，BC-AD=4，
∴BC=7，AD=3，
∴S_梯形ABCD=S_△ABD+S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•AE+$\frac{1}{2}$BD•CE=$\frac{1}{2}$BD（AE+CE）=$\frac{1}{2}$BD•AC=$\frac{1}{2}$×8×6=24．

点评 此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及三角函数的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．