Question

6．如图，直线y=x+m与双曲线y=$\frac{3}{x}$交于点P，与x轴、y轴交于B、A两点，则PA•PB=6．

Answer 1

分析 过点P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，由y=x+m得：A（0，m），B（-m，0），得到OA=m，OB=m，确定△ABO是等腰直角三角形，得到∠ABO=45°，∠BAO=∠ABO=∠FAP=45°，确定△AFP与△PBE也是等腰直角三角形，设P（x，y），则PE=BE=y，PF=AF=x，根据勾股定理得到PA=$\sqrt{2}$x，PB=$\sqrt{2}$y，由点P在y=$\frac{3}{x}$的图形上，求得PA•PB=2xy=2×3=6．

解答 解：过点P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，
由y=x+m得：A（0，m），B（-m，0），
∴OA=m，OB=m，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∴∠BAO=∠ABO=∠FAP=45°
∴PE=BE，
设P（x，y），则PE=BE=y，PF=AF=x，
∴PA=$\sqrt{2}$x，PB=$\sqrt{2}$y，
∴PA•PB=2xy，
∵点P在y=$\frac{3}{x}$的图形上，
∴PA•PB=2xy=2×3=6，
故答案为：6．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．