Question

1．若一等腰三角形的腰长为10，底边长为关于x的方程x²-14x+48=0的两根．
（1）求出底边长，并作出该三角形（工具不限）；
（2）若有一个圆能将该等腰三角形完全覆盖住，请问该圆的半径的最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）利用因式分解法解方程得出即可，再利用三边作三角形即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理分别得出该圆的半径的最小值即可．

解答 解：（1）x²-14x+48=0
（x-8）（x-6）=0，
解得：x₁=6，x₂=8，
故底边为6或8；

（2）如图1，过点A作AD⊥BC于点D，连接CO，
当三边为6、10、10时，
则DC=3，故AD=$\sqrt{91}$，
设CO=x，则DO=$\sqrt{91}$-x，
故x²=（$\sqrt{91}$-x）²+3²，
解得：x=$\frac{50\sqrt{91}}{91}$，
故此时最小半径为：$\frac{50\sqrt{91}}{91}$；
如图2，过点A作AD⊥BC于点D，连接CO，
当三边为8、10、10时，
则DC=4，故AD=2$\sqrt{21}$，
设CO=x，则DO=2$\sqrt{21}$-x，
故x²=（2$\sqrt{21}$-x）²+4²，
解得：x=$\frac{25\sqrt{21}}{21}$，
故此时最小半径为：$\frac{25\sqrt{21}}{21}$．

点评 此题主要考查了复杂作图以及垂径定理、勾股定理等知识，熟练应用垂径定理得出半径长是解题关键．