Question

8．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BG．
（1）发现
①线段DE、BG之间的数量关系是DE=BG；
②直线DE、BG之间的位置关系是DE⊥BG．
（2）探究
如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）应用
如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB=4，请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）证明△AED≌△AGB可得出两个结论；
（2）①根据正方形的性质得出AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，求出∠EAD=∠GAB，根据SAS推出△EAD≌△GAB即可；
②根据全等三角形的性质得出∠GBA=∠EDA，求出∠DHB=90°即可；
（3）先确定点P到CD所在直线距离的最大值和最小值的位置，再根据图形求解．

解答 解：（1）发现
①线段DE、BG之间的数量关系是：DE=BG，
理由是：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BDA=90°，
∴∠BAG=∠BAD=90°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE=AG，
∴△AED≌△AGB，
∴DE=BG；
②直线DE、BG之间的位置关系是：DE⊥BG，
理由是：如图2，延长DE交BG于Q，
由△AED≌△AGB得：∠ABG=∠ADE，
∵∠AED+∠ADE=90°，∠AED=∠BEQ，
∴∠BEQ+∠ABG=90°，
∴∠BQE=90°，
∴DE⊥BG；
故答案为：①DE=BG；②DE⊥BG；
（2）探究
（1）中的结论仍然成立，理由是：
①如图3，∵四边形AEFG和四边形ABCD是正方形，
∴AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，
∴∠EAD=∠GAB=90°+∠EAB，
在△EAD和△GAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAD=∠GAB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△GAB（SAS），
∴ED=GB；
②ED⊥GB，
理由是：∵△EAD≌△GAB，
∴∠GBA=∠EDA，
∵∠AMD+∠ADM=90°，∠BMH=∠AMD，
∴∠BMH+∠GBA=90°，
∴∠DHB=180°-90°=90°，
∴ED⊥GB；
（3）应用
将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，即点E和G在以A为圆心，以2为半径的圆上，
过P作PH⊥CD于H，
①当P与F重合时，此时PH最小，如图4，
在Rt△AED中，AD=4，AE=2，
∴∠ADE=30°，DE=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴DF=DE-EF=2$\sqrt{3}$-2，
∵AD⊥CD，PH⊥CD，
∴AD∥PH，
∴∠DPH=∠ADE=30°，
cos30°=$\frac{PH}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2$\sqrt{3}$-2）=3-$\sqrt{3}$；
②∵DE⊥BG，∠BAD=90°，
∴以BD的中点O为圆心，以BD为直径作圆，P、A在圆上，
当P在$\widehat{AB}$的中点时，如图5，此时PH的值最大，
∵AB=AD=4，
由勾股定理得：BD=4$\sqrt{2}$，
则半径OB=OP=2$\sqrt{2}$
∴PH=2+2$\sqrt{2}$．
综上所述，点P到CD所在直线距离的最大值是2+2$\sqrt{2}$，最小值是3-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出∠EAD≌△GAB，综合性比较强，尤其是第三问，难度较大．