Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=∠CBA=45°，AB=10cm，CD=4cm，等腰Rt△PMN的直角边MN=5cm，点A与点N重合，MN和AB在一条直线上，若等腰梯形ABCD不动，等腰Rt△PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止，此时，边PN与梯形ABCD的边交于点G．
（1）设移动时间为t秒，当直线PM过点D点时，求t的值．
（2）在整个运动过程中，设运动时间为t秒时，△PMN与梯形ABCD重叠部分的面积为ycm²，求y与t之间的函数表达式．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,动点问题的函数图象,等腰直角三角形

专题：动点型

分析：（1）如图1，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，先AAS证明△ADE≌△BCF，再根据等腰梯形的性质和等腰直角三角形的性质，即可得到当直线PM过点D点时，t=MN+AM，依此即可求解；
（2）分0＜t＜5，5≤t＜8，8≤t＜10三种情况讨论可求y与t之间的函数表达式．

解答：解：（1）如图1，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
∵梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=∠CBA=45°，
∴DE=CF，
在△ADE和△BCF中，

∠DAE=∠CBF ∠DEA=∠CFB=90° DE=CF

，
∴△ADE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∵AB=10cm，CD=4cm，
∴AE=BF=3cm，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=3cm，
如图2，当直线PM过点D点时，AM=AE=3cm，
∴t=MN+AM=3+5=8（s）；

（2）当0＜t＜5时，y=

1

2

t×

1

2

t=

1

4

t²；
当5≤t＜8时，y=

1

2

[5+t-5）]×

1

2

[5+t-5）]-

1

2

（t-5）（t-5）=-

1

4

t²+5t-12.5；
当8≤t＜10时，y=5×5÷2-（5-3）×（5-3）÷2=12.5-2=10.5．

点评：考查了等腰梯形的性质，动点问题的函数图象和等腰直角三角形，注意分类思想的运用．