Question

9．如图所示，F，E，G，H分别在矩形ABCD的四边上，连接EF，GH，且EF∥GH，AH=BF．若AD=3，EF+GH=$\sqrt{34}$，则tan∠DGH=$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 先延长GH交BA的延长线于P，连HF，过P作PQ⊥CD，交CD的延长线于Q，根据四边形PEFH为平行四边形，即可得出PG=PH+HG=EF+GH=$\sqrt{34}$，在Rt△PQG中，由勾股定理得QG的长，最后根据解直角三角形即可得到tan∠DGH的值．

解答 解：如图，延长GH交BA的延长线于P，连HF，

∵AH=BF，AH∥BF，
∴四边形PEFH为平行四边形，
∴EF=PH，
∴PG=PH+HG=EF+GH=$\sqrt{34}$，
如图，过P作PQ⊥CD，交CD的延长线于Q，
∴PQ=AD=3，
在Rt△PQG中，由勾股定理得QG=$\sqrt{P{G}^{2}-P{Q}^{2}}$=5，
∴tan∠DGH═$\frac{PQ}{QG}$=$\frac{3}{5}$，
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形以及直角三角形，依据平行四边形的性质和勾股定理进行计算．