Question

14．（1）如图①，∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上吗？若在请画出经过A，B，C，D的圆（不写画法，保留画痕），若不在，请说明理由．
（2）如图②，如果∠ACB=∠ADB=α（α≠90°）（点C，D在AB的同侧），猜想：点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？（只写出你的猜想，不需证明．）
（3）若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．
（i）作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F（如图③），求证：DF为 Rt△ACD的外接圆的切线．
（ii）如图④，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=$\frac{2}{3}$，AD=1，求DG的长．．

Answer 1

分析 （1）存在．以AB的中点O为圆心，OC为半径画圆即可．
（2）假设点D在⊙O内，利用圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D不在⊙O内；
（3）作出RT△ACD的外接圆，由发现可得点E在⊙O上，则证得∠ACD=∠FDA，又因为∠ACD+∠ADC=90°，于是有∠FDA+∠ADC=90°，即可证得DF是圆的切线；
（4）由（2）可得点G在过C、A、E三点的圆O上，进而易证四边形ACGD是矩形，根据已知条件解直角三角形ACD可得AC的长，即DG的长．

解答 解：（1）如图①中，点D在经过A，B，C三点的圆上，如图所示．


（2）如图②中，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，

∵∠ADB是△BDE的外角，
∴∠ADB＞∠AEB，
∴∠ADB＞∠ACB，
因此，∠ADB＞∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾，
所以点D也不在⊙O内，同法可证点D也不在⊙O外
所以点D即不在⊙O内，也不在⊙O外，即点D在⊙O上；

（3）如图③，取CD的中点O，则点O是RT△ACD的外心，

∵∠CAD=∠DEC=90°，
∴点E在⊙O上，
∴∠ACD=∠AED，
∵∠FDA=∠AED，
∴∠ACD=∠FDA，
∵∠DAC=90°，
∴∠ACD+∠ADC=90°，
∴∠FDA+∠ADC=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线；
（3）∵∠BGE=∠BAC，
∴点G在过C、A、E三点的圆上，如图④，

又∵过C、A、E三点的圆是RT△ACD的外接圆，即⊙O，
∴点G在⊙O上，
∵CD是直径，
∴∠DGC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=90°
∵∠DAC=90°
∴四边形ACGD是矩形，
∴DG=AC，
∵sin∠AED=$\frac{2}{3}$，∠ACD=∠AED，
∴sin∠ACD=$\frac{2}{3}$，
在RT△ACD中，AD=1，
∴CD=$\frac{3}{2}$，
∴AC=$\sqrt{C{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}-1}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴DG=AC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题综合考查了圆周角定理、反证法、三角形外角的性质、点和圆的位置关系、切线的判定、矩形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．