Question

3．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（-2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC与△ABE的面积．

Answer 1

分析 （1）把A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，根据题意设出B坐标，代入反比例解析式确定出B坐标，将A，B，O坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式确定出顶点E坐标，根据BC与x轴平行得到B与C纵坐标相同，把B纵坐标代入抛物线解析式确定出C坐标，进而求出三角形ABC面积；由A与B坐标，利用待定系数法确定出直线AB解析式，设抛物线的对称轴与AB交于点F，求出F坐标，进而求出EF的长，由三角形AEF+三角形BEF求出三角形ABE面积即可．

解答 解：（1）∵点A（-2，2）在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=-4，
∴双曲线的解析式为y=-$\frac{4}{x}$，
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，
∴设B点坐标为（m，-4m）（m＞0）代入双曲线解析式得：m=1，
∴抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）过点A（-2，2）、B（1，-4）、O（0，0），
把A，B，O三点坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=2}\\{a+b+c=-4}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\\{c=0}\end{array}\right.$．
则抛物线的解析式为y=-x²-3x；
（2）连接AC，AB，AE，BE，
∵抛物线的解析式为y=-x²-3x，
∴顶点E（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$），对称轴为x=-$\frac{3}{2}$，
∵B（1，-4），
∴-x²-3x=-4，
解得：x₁=1，x₂=-4，
∴C（-4，-4），
∴S_△ABC=5×6×$\frac{1}{2}$=15，
∵A、B两点坐标分别为（-2，2），（1，-4），
∴设直线AB解析式为y=mx+n，
把A与B坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=2}\\{m+n=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-2x-2，
设抛物线的对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为（-$\frac{3}{2}$，1），
∴EF=$\frac{9}{4}$-1=$\frac{5}{4}$，
∴S_△ABE=S_△AEF+S_△BEF=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$×3=$\frac{15}{8}$．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例解析式，一次函数解析式以及抛物线解析式，坐标与图形性质，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．